为什么essential？
1.标题中的essential：仿照《Essential C++》中只介绍必要的内容、不深究细节的风格，本文也以实用为唯一标准，标题添加essential前缀，简短阐明风格。
2.集合论的essential：数学是计算的基石（暂且当作如此），而集合论则是当代数学的重要基石。集合论的多数内容在我们看来都是“显然如此”的，换言之已经是在我们漫长的数学学习过程中被默认的内容。
朴素集合论
概括公理：$P(x)$是一个命题，则$\lbrace x|P(x)\rbrace $是一个集合
解释：命题是判断语义的意思。$P(x)$可表示为一个判断，如if (x)、if (x < 100 && x >= 0)等，自然也可以表示为function的形式，但逻辑本质还是一个判断，返回真or假，如bool not_zero(int x) {return x;}等。x是命题的参数，而$\lbrace x|P(x)\rbrace $则表示所有使P(x) == true的$x$。这些$x$就组成了一个集合。
其实这里就是在定义集合，虽然并非一个严谨的定义。我们举几个具体的例子来说明。
- 不重复性：集合中的元素是唯一的。这里就比较符合
std::set以及std::unordered_set的定义，如$\lbrace 1,2,3\rbrace $是一个合法集合，而$\lbrace 1,1,2,3\rbrace $不是一个合法的集合。 - 外延公理：两个集合互为子集时，或者说属于一个集合的任意元素都属于另一个集合，两个集合逻辑上相等。这也限定了两个有限集合的判等方法就是，元素数一致&&枚举所有元素分别判等。
- 属性要求：集合的元素数大于等于0。如
std::size_t std::set<T>::size() const显然返回的是unsigned整型。 - 定义要求：集合必须被明确定义。给定一个输入，它要么属于一个集合，要么不属于一个集合。一个集合可通过穷举所有元素进行定义，也可以进行完备的描述来定义，如
std::set<int> S = {1,2,3};或者$\lbrace x|x > 0, x < 10, x\in N\rbrace $。
扩展：罗素悖论（Russell's paradox）
朴素理解（理发师悖论）：一个理发师，只为“不给自己刮胡子的人刮胡子”。若一个顾客自己刮胡子，则理发师就不给他刮胡子；若一个顾客自己不刮胡子，则理发师就给他刮胡子。至此没有问题，那么理发师应不应该给自己刮胡子呢？如果应该给自己刮胡子，自己则是“自己刮胡子的顾客”，于是不应该给自己刮胡子；反之也得到相似的悖论。
集合运算
补集：在指定集合$S$之内，$X^c$表示$S$中除了$X$的集合。
交集：集合$X$与$Y$相交的范围，$X\bigcap Y$。即对于任意$x\in (X\bigcap Y)$，有$x\in X$且$x\in Y$。
并集：集合$X$与$Y$范围组合并去重，$X\bigcup Y$。即对于任意$x\in X，有$x\in (X\bigcup Y)$，且对于任意$y\in Y$，有$y\in (X\bigcup Y)$。
交并均分别满足交换律：$X\bigcap Y = Y\bigcap X$，$X\bigcup Y = Y\bigcup X$。通俗来说就是符号没有作用方向之分。
交并均分别满足结合律：$X\bigcap Y\bigcap Z = X\bigcap (Y\bigcap Z)$。通俗来说就是同类符号，运算顺序无所谓。
交并的分配律：$(X\bigcup Y)\bigcap Z = (X\bigcap Z)\bigcup (Y\bigcap Z)$，$(X\bigcap Y)\bigcup Z=(X\bigcup Z)\bigcap (Y\bigcup Z)$。没法通俗说。
直觉
集合并非是一定可以在实践上被穷举的，它可能是逻辑上有限，但实践中“近乎无限”的。
集合可以被视为“能够描述一切东西”。这么说就非常抽象了，以一种通俗的方式讲，当加入足够多的定语的时候，我们就能准确描述一个具体的东西。当然只这么说的话就没有什么用，我们说点实用的。在很多应用领域里面，我们都会说到“空间”这个概念，比如数据空间/特征空间。空间也是一种集合，集合中的每一个元素都可以视为空间中的一个数据点，所以那些“空间”都满足集合的性质。
这么一说的话，集合的概念就可以泛化了，数轴上的范围是集合，二维坐标系下的某个曲面是一个集合，等等。这些东西都可以用集合运算来考虑。